已知椭圆方程为y22+x2=1，斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．（Ⅰ）求m的取值范围；（Ⅱ）求△MPQ面积的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆方程为y22+x2=1，斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知椭圆方程为

y2

2

+x2=1，斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与y轴相交于点M（0，m）．
（Ⅰ）求m的取值范围；
（Ⅱ）求△MPQ面积的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+1，由

y=kx+1

y2

2

+x2=1

可得（k²+2）x²+2kx-1=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=

-2k

k2+2

，x1x2=-

1

k2+2

．
可得y1+y2=k(x1+x2)+2=

4

k2+2

．…（3分）
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为(

-k

k2+2

，

2

k2+2

)，
由题意有k_MN?k=-1，可得

m-

2

k2+2

k

k2+2

?k=-1．可得m=

k

k2+1

，
又k≠0，所以0＜m＜

1

2

．…（6分）
（Ⅱ）设椭圆上焦点为F，
则S△MPQ=

1

2

?|FM|?|x1-x2|=

2m(1-m)3

…（9分）
所以△MPQ的面积为

2

m(1-m)3

（0＜m＜

1

2

）．
设f（m）=m（1-m）³，则f'（m）=（1-m）²（1-4m）(0，

1

4

)．
可知f（m）在区间(0，

1

4

)单调递增，在区间(

1

4

，

1

2

)单调递减．
所以，当(0，

1

4

)时，f（m）=m（1-m）³有最大值f(

1

4

)=

27

256

．
所以，当时，△MPQ的面积有最大值

3

6

16

．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆方程为y22+x2=1，斜率为k（k≠0）的直线l过椭圆的上焦点且与..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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