双曲线C：x2a2-y2b2=1上一点(2，3)到左，右两焦点距离的差为2．（1）求双曲线的方程；（2）设F1，F2是双曲线的左右焦点，P是双曲线上的点，若|PF1|+|PF2|=6，求△PF1F2的面积；（3）过-数学试题及答案

1、试题题目：双曲线C：x2a2-y2b2=1上一点(2，3)到左，右两焦点距离的差为2．（1）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1上一点(2，

3

)到左，右两焦点距离的差为2．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F₁，F₂是双曲线的左右焦点，P是双曲线上的点，若|PF₁|+|PF₂|=6，求△PF₁F₂的面积；
（3）过（-2，0）作直线l交双曲线C于A，B两点，若

OP

=

OA

+

OB

，是否存在这样的直线l，使OAPB为矩形？若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．

试题来源：宝山区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1上一点(2，

3

)到左，右两焦点距离的差为2．
∴a=1，双曲线方程为x2-

y2

b2

=1，
把点(2，

3

)2，

3

）代入，得b=1．
∴双曲线方程为：x²-y²=1．
（2）设P在第一象限，则

|PF1| -|PF2|=2

|PF1| +|PF2|=6

，
解得|PF₁|=4，|PF₂|=2，
∴cos∠F1PF2=

3

4

，
∴sin∠F1PF=

7

4

，
∴△PF₁F₂的面积S=

7

．
（3）若直线斜率存在，设为y=k（x+2），代入x²-y²=1，
得（1-（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0（k≠±1），
若平行四边形OAPB为矩形，则OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

k2+1

k2-1

=0无解．
若直线垂直x轴，则A（-2，

3

），B（-2，

3

）不满足．
故不存在直线l，使OAPB为矩形．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“双曲线C：x2a2-y2b2=1上一点(2，3)到左，右两焦点距离的差为2．（1）..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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