已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线C2：x2a2-y2b2=1的一个焦点F1且垂直于C2的两个焦点所在的轴，若抛物线C1与双曲线C2的一个交点是M(32，6)．（1）求抛物线C1的方-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线C2：x2a2-y2b2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知抛物线C₁的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1的一个焦点F₁且垂直于C₂的两个焦点所在的轴，若抛物线C₁与双曲线C₂的一个交点是M(

3

2

，

6

)．
（1）求抛物线C₁的方程及其焦点F的坐标；
（2）求双曲线C₂的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解一：（1）由题意可设抛物线C₁的方程为y²=2px．（2分）
把M(

3

2

，

6

)代入方程为y²=2px，得p=2（4分）
因此，抛物线C₁的方程为y²=4x．（5分）
于是焦点F（1，0）（6分）
（2）抛物线C₁的准线方程为y=-1，
所以，F₁（-1，0）（7分）
而双曲线C₂的另一个焦点为F（1，0），于是2a=|MF1-MF|=|

7

2

-

5

2

|=1
因此，a=

1

2

（9分）
又因为c=1，所以b2=c2-a2=

3

4

．
于是，双曲线C₂的方程为

x2

1

4

-

y2

3

4

=1．（12分）
解二：（1）同上（6分）
（2）抛物线C₁的准线方程为y=-1，
所以，F₁（-1，0）
而双曲线C₂的另一个焦点为F（1，0），
∵点M(

3

2

，

6

)在双曲线上，∴

9

4

a2

-

6

b2

=1

a2+b2=1

∴

9

4a2

-

6

1-a2

=1
∴4a⁴-37a²+9=0
∴a²=9（舍去）或a2=

1

4

，从而b2=

3

4

∴双曲线方程为

x2

1

4

-

y2

3

4

=1（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C1的顶点在坐标原点，它的准线经过双曲线C2：x2a2-y2b2..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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