在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-3)，(0，3)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．（1）写出C的方程；（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时OA⊥OB？-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-3)，(0，3)的距离之和等于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-

3

)，(0，

3

)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）写出C的方程；
（2）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时

OA

⊥

OB

？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由条件知：P点的轨迹为焦点在y轴上的椭圆，
其中c=

3

，a=2，所以b²=a²-c²=4-(

3

)2=1．
故轨迹C的方程为：

y2

4

+x2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+1

y2

4

+x2=1

?（kx+1）²+4x²=4，即（k²+4）x²+2kx-3=0
由△=16k²+48＞0，可得：

x1+x2=-

2k

k2+4

x1x2=-

3

k2+4

，
再由

OA

⊥

OB

?

OA

?

OB

=0?x1x2+y1y2=0，
即（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0，
所以

-3(k2+1)

k2+4

-

2k2

k2+4

+1=0，k2=

1

4

?k=±

1

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，-3)，(0，3)的距离之和等于..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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