已知抛物线C1、椭圆C2和双曲线C3在x轴上有共同的焦点，且三条曲线都经过点M（1，2），C1的顶点为坐标原点，C2、C3的对称轴是坐标轴．（1）求这三条曲线的方程（2）已知动直线l过点P-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C1、椭圆C2和双曲线C3在x轴上有共同的焦点，且三条曲线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知抛物线C₁、椭圆C₂和双曲线C₃在x轴上有共同的焦点，且三条曲线都经过点M（1，2），C₁的顶点为坐标原点，C₂、C₃的对称轴是坐标轴．
（1）求这三条曲线的方程
（2）已知动直线l过点P（3，0），交抛物线C₁于A、B两点，问是否存在垂直于x轴的直线l′，被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l′的方程；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设抛物线的方程y²=2px（p＞0），代入M（1，2）得p=2，C₁方程y²=4x（2分）
椭圆C₂和双曲线C₃焦点为F₁（-1，0），F₂（1，0），c=1
对于椭圆C₂：2a=|MF1|+|MF2|=2+2

2

，a=1+

2

，b2=2+2

2

，
得C₂方程：

x2

3+2

2

+

y2

2+2

2

=1（4分）
对于双曲线C₃：2a=||MF1|-|MF2||=2

2

-2，a=

2

-1，b2=2

2

-2，
得C₃方程：

x2

3-2

2

-

y2

2

-2

=1（6分）
（2）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），以AP为直径的圆的圆心为(

x1+3

2

，

y1

2

)，
设存在符合条件的直线l′：x=n，圆心到l′的距离为d=|

x1+3

2

-n|，
所以l′被以AP为直径的圆截得的弦长为2

(

1

2

|AP|)2-(

x1+3

2

-n)2

=2

1

4

((x1-3)2+y12)-(

x1+3

2

-n)2

=2

-2x1+n(x1+3)-n2

=2

(n-2)x1+3n-n2

，（10分）
当n=2时，即l′方程x=2，弦长为定值2

2

（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C1、椭圆C2和双曲线C3在x轴上有共同的焦点，且三条曲线..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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