已知抛物线C1：y=x2，椭圆C2：x2+y24=1．（1）设l1，l2是C1的任意两条互相垂直的切线，并设l1∩l2=M，证明：点M的纵坐标为定值；（2）在C1上是否存在点P，使得C1在点P处切线与C2相交于-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C1：y=x2，椭圆C2：x2+y24=1．（1）设l1，l2是C1的任意两条..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知抛物线C₁：y=x²，椭圆C₂：x²+

y2

4

=1．
（1）设l₁，l₂是C₁的任意两条互相垂直的切线，并设l₁∩l₂=M，证明：点M的纵坐标为定值；
（2）在C₁上是否存在点P，使得C₁在点P处切线与C₂相交于两点A、B，且AB的中垂线恰为C₁的切线？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）y′=2x，
设切点分别为（x₁，x₁²），（x₂，x₂²）
则l₁方程为y-x₁²=2x₁（x-x₁）
即y=2x₁x-x₁²①
l₂方程为y=2x₂x-x₂²②
由l₁⊥l₂得2x₁2x₂=-1
即x1x2=-

1

4

所以yM=-

1

4

，
即点M的纵坐标为定值-

1

4

．
（2）设P（x₀，x₀²），
则C₁在点P处切线方程为：y=2x₀x-x₀²
代入C₂方程4x²+y²-4=0
得4x²+（2x₀x-x₀²）-4=0
即（4+4x₀²）x²-4x₀³x+x₀⁴-4=0
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄）
则x3+x4=

x

30

1+

x

20

，x3?x4=

x

40

-4

4+4

x

20

△=16x₀⁶-16（1+x₀²）（x₀⁴-4）=16（4+4x₀²-x₀⁴）＞0 ③
由（1）知yM=-

1

4

从而

y3+y4

2

=-

1

4

，
即x0(x3+x4)-

x

20

=--

1

4

进而得

x

40

1+

x

20

-

x

20

=-

1

4

解得

x

20

=

1

3

，且满足③
所以这样点P存在，其坐标为(±

3

，

1

3

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C1：y=x2，椭圆C2：x2+y24=1．（1）设l1，l2是C1的任意两条..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：