已知直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1有A、B两个不同的交点．（1）如果以AB为直径的圆恰好过原点O，试求k的值；（2）是否存在k，使得两个不同的交点A、B关于直线y=2x对称？试述理由．-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1有A、B两个不同的交点．（1）如果以..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知直线y=kx+1与双曲线3x²-y²=1有A、B两个不同的交点．
（1）如果以AB为直径的圆恰好过原点O，试求k的值；
（2）是否存在k，使得两个不同的交点A、B关于直线y=2x对称？试述理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1），则以AB为直径的圆恰好过原点O的充要条件是AO⊥BO，
∴x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，即（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0…①
由

y=kx+1

3x2-y2=1

消去y得（3-k²）x²-2kx-2=0…②∴

x1+x2=

2k

3-k2

x1x2=-

2

3-k2

将其代入①得

-2(k2+1)

3-k2

+

2k2

3-k2

+1=0，解得k=1或k=-1．
当k=1时，方程②为2x²-2x-2=0，有两个不等实根；
当k=-1时，方程②为x²+x-1=0，有两个不等实根．
故当k=1或k=-1时，以AB为直径的圆恰好过原点O．
（2）若A（x₁，kx₁+1），B（x₂，kx₂+1）关于直线y=2x对称，
则

k=-

1

2

(kx1+1)+(kx2+1)=2(x1+x2)

将④整理得（k-2）（x₁+x₂）+2=0．
因为x1+x2=

2k

2-k2

，所以

2k(k-2)

3-k2

+2=0，解之，得k=

3

2

．这个结果与③矛盾．
故不存在这样的k，使两点A、B关于直线y=2x对称．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线y=kx+1与双曲线3x2-y2=1有A、B两个不同的交点．（1）如果以..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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