已知直线l：y=x+m与椭圆x220+y25=1相交于不同的两点A，B，点M（4，1）为定点．（1）求m的取值范围；（2）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l：y=x+m与椭圆x220+y25=1相交于不同的两点A，B，点M（4，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知直线l：y=x+m与椭圆

x2

20

+

y2

5

=1相交于不同的两点A，B，点M（4，1）为定点．
（1）求m的取值范围；
（2）若直线l不过点M，求证：直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）直线l：y=x+m代入椭圆

x2

20

+

y2

5

=1，可得5x²+8mx+4m²-20=0
∵直线l：y=x+m与椭圆

x2

20

+

y2

5

=1相交于不同的两点A，B，
∴△=64m²-20（4m²-20）＞0，
∴-5＜m＜5；
（2）证明：设直线MA、MB的斜率分别为k₁，k₂，点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

∴k₁+k₂=

y1-1

x1-4

+

y2-1

x2-4

=

(x1+m-1)(x2-4)+(x2+m-1)(x1-4)

x1x2-4(x1+x2)+16

=

2x1x2+(m-5)(x1+x2)-8(m-1)

x1x2-4(x1+x2)+16

=

2?

4m2-20

5

+(m-5)(-

8m

5

)-8(m-1)

x1x2-4(x1+x2)+16

=0
∴直线MA、MB的倾斜角互补，故直线MA，MB与x轴围成一个等腰三角形．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l：y=x+m与椭圆x220+y25=1相交于不同的两点A，B，点M（4，..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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