已知动点P与双曲线x2-y2=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2的最小值为-13，求动点P的轨迹方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知动点P与双曲线x2-y2=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知动点P与双曲线x²-y²=1的两个焦点F₁，F₂的距离之和为定值，且cos∠F₁PF₂的最小值为-

1

3

，求动点P的轨迹方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵x²-y²=1，∴c=

2

．
设|PF₁|+|PF₂|=2a（常数a＞0），2a＞2c=2

2

，
∴a＞

2

由余弦定理有cos∠F₁PF₂=

|PF1| 2+|PF2| 2-|F1F2| 2

2|PF1||PF2|

=

(|PF1|+|PF2|) 2-2|PF1||PF2|-|F1F2| 2

2|PF1||PF2|

=

2a 2-4

|PF1||PF2|

-1
∵|PF₁||PF₂|≤（

|PF1|+|PF2|

2

）²=a²，
∴当且仅当|PF₁|=|PF₂|时，|PF₁||PF₂|取得最大值a²．
此时cos∠F₁PF₂取得最小值

2a 2-4

a 2

-1，
由题意

2a 2-4

a 2

-1=-

1

3

，
解得a²=3，
∴b²=a²-c²=3-2=1
∴P点的轨迹方程为

x 2

3

+y²=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知动点P与双曲线x2-y2=1的两个焦点F1，F2的距离之和为定值，且..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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