已知中心在原点，其中一个焦点为F（-1，0）的椭圆经过点P(2，-62)，椭圆的右顶点为A，经过点F的直线l与椭圆交于两点B，C．（1）求椭圆的方程；（2）若△ABC的面积为1872，求直线l的方-数学试题及答案

1、试题题目：已知中心在原点，其中一个焦点为F（-1，0）的椭圆经过点P(2，-62)，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知中心在原点，其中一个焦点为F（-1，0）的椭圆经过点P(

2

，-

6

2

)，椭圆的右顶点为A，经过点F的直线l与椭圆交于两点B，C．
（1）求椭圆的方程；
（2）若△ABC的面积为

18

7

2

，求直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设椭圆的方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)（1分）
由题设知

a2-b2=1

2

a2

+

3

2

b2

=1

，解得：

a=2

b=

3

（5分）
因此，椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

=1.（6分）

（2）若直线l⊥x轴，则l的方程为：x=-1，
此时B、C的坐标为(-1，

3

2

)、(-1，-

3

2

).
由于点A的坐标为（2，0），则△ABC的面积为

9

2

.不合题意，舍去：（7分）
若直线l不与x轴垂直，可设l的方程为：y=k（x+1）．
则直线与椭圆恒有两交点．
由

y=k(x+1)

x2

4

+

y2

3

=1

，得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0（8分）
记B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂），则有

x1+x2=-

8k2

3+4k2

x1x2=

4k2-12

3+4k2

，（9分）
由于|BC|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

12(1+k2)

3+4k2

点A到直线l的距离为

|3k|

1+k2

，（11分）
将上面两式代入△ABC的面积公式可得：

1

2

?

12(1+k2)

3+4k2

?

|3k|

1+k2

=

18

7

2

，（12分）
整理得：17k⁴+k²-18=0（13分）
解得：k2=-

18

7

（舍去），k²=1故k=±1，
从而，直线l的方程为：y=±（x+1）．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知中心在原点，其中一个焦点为F（-1，0）的椭圆经过点P(2，-62)，..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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