已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P（x0，y0）（x0≠0）的切线方程为y-y0=2ax0（x-x0）（a为常数）．（I）求抛物线方程；（II）斜率为k1的直线PA与抛物线的另一交点-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P（x0，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P（x₀，y₀）（x₀≠0）的切线方程为y-y₀=2ax₀（x-x₀）（a为常数）．
（I）求抛物线方程；
（II）斜率为k₁的直线PA与抛物线的另一交点为A，斜率为k₂的直线PB与抛物线的另一交点为B（A、B两点不同），且满足k₂+λk₁=0（λ≠0，λ≠-1），若

BM

=λ

MA

，求证线段PM的中点在y轴上；
（III）在（II）的条件下，当λ=1，k₁＜0时，若P的坐标为（1，-1），求∠PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围．

试题来源：淮南一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由题意可设抛物线的方程为x²=-2py（p＞0），
由过点p（x₀，y₀）（x₀≠0）的切线方程为y-y₀=2ax₀（x-x₀），得
∴y′|x=x0=-

x0

p

=2ax0，
因此p=-

1

2a

．
∴抛物线的方程为y=ax²（a＜0）．
（II）直线PA的方程为y-y₀=k₁（x-x₀），

y=ax2

y-y0=k1(x-x0).

'
∴ax²-k₁x+k₁x₀-y₀=0，∴xA+x0=

k1

a

，xA=

k1

a

-x0．
同理，可得xB=

k2

a

-x0．
∵k₂+λk₁=0，∴k₂=-λk₁，xB=-

λk1

a

-x0．
又

BM

=λ

MA

(λ≠0，λ≠-1)，
∴x_M-x_B=λ（x_A-x_M），xM=

λxA+xB

1+λ

=-x0．
∴线段PM的中点在y轴上．
（III）由λ=1，P（1，-1），可知a=-1．
∴A（-k₁-1，-（k₁+1）²），B（k₁-1，-（k₁-1）²）．
∴

AP

=(2+k1，

k

21

+2k1)，

AB

=(2k1，4k1)．
∵∠PAB为钝角，且P，A，B不共线，
∴

AP

?

AB

＜0．
即（2+k₁）?2k₁+（k₁²+2k₁）?4k₁＜0．
∴k₁（2k₁²+5k₁+2）＜0．
∵k₁＜0，
∴2k₁²+5k₁+2＞0．
∴k1＜-2，或-

1

2

＜k1＜0．
又∵点A的纵坐标y_A=-（k₁+1）²，
∴当k₁＜-2时，y_A＜-1；
当-

1

2

＜k₁＜0时，-1＜y_A＜-

1

4

．
∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为(-∞，-1)∪(-1，-

1

4

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴的负半轴上，过其上一点P（x0，..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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