已知斜率为1的直线l与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)交于B，D两点，BD的中点为M（1，3）．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设C的右焦点为F，|DF|?|BF|≤17，求b2-a2取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知斜率为1的直线l与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)交于..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知斜率为1的直线l与双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于B，D两点，BD的中点为M（1，3）．
（Ⅰ）求C的离心率；
（Ⅱ）设C的右焦点为F，|DF|?|BF|≤17，求b²-a²取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由题知，l的方程为：y=x+2．
代入C的方程，并化简，得（b²-a²）x²-4a²x-4a²-a²b²=0．
设B（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）则x1+x2=

4a2

b2-a2

，x1x2=-

4a2+a2b2

b2-a2

①
由M（1，3）为BD的中点知

x1+x2

2

=1，故

1

2

?

4a2

b2-a2

=1，
即b²=3a² ②
故c=

a2+b2

=2a，所以C的离心率e=

c

a

=2；
（II）由①、②知C的方程为：3x²-y²=3a²．
F（2a，0），x1+x2=2，x1x2=-

4+3a2

2

＜0．
故不妨设x₁≤-a，x₂≥a
|BF|=

(x1-2a)2+y12

=

(x1-2a)2+3x12-3a2

=a-2x1，
|FD|=

(x2-2a)2+y22

=

(x2-2a)2+3x22-3a2

=2x2-a，
|BF|?|DF|=（a-2x₁）（2x₂-a）=-4x1x2+2a(x1+x2)-a2
=-4×(-

4+3a2

2

)+4a-a2=5a2+4a+8．
又|BF|?|DF|≤17，故5a²+4a+8≤17，
解得-

9

5

≤a≤1，故0＜a≤1．
由e=2，得b²=3a²，故b²-a²=2a²∈（0，2]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知斜率为1的直线l与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)交于..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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