已知F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足，F1F2=2NF1，|F1F2|=2．（1）求此椭圆的方程；（2）设A、B是这个椭圆上的两点，并且-数学试题及答案

1、试题题目：已知F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知F₁、F₂分别是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，其左准线与x轴相交于点N，并且满足，

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2．
（1）求此椭圆的方程；
（2）设A、B是这个椭圆上的两点，并且满足

NA

=λ

NB

，当λ∈[

1

5

，

1

3

]时，求直线AB的斜率的取值范围．

试题来源：东城区模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由于

F1F2

=2

NF1

，|

F1F2

|=2，∴

2c=

F1F2

|=2

a2

c

-1=

NF1

|=1

a2=b2+c2.

（3分）
解得

a2=2

b2=1

，从而所求椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．（5分）
（2）∵

NA

=λ

NB

，?∴A，B，N三点共线，而点N的坐标为（-2，0）．
设直线AB的方程为y=k（x+2），
其中k为直线AB的斜率，依条件知k≠0．
由

y=k(x+2)

x2

2

+y2=1

消去x得(

1

k

y-2)2+2y2=2，
即

2k2+1

k2

y2-

4

k

y+2=0．（6分）
根据条件可知

△=(

4

k

)2-8?

2k2+1

k2

＞0

k≠0.

解得0＜|k|＜

2

．（7分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则根据韦达定理，得

y1+y2=

4k

2k2+1

y1y2=

2k2

2k2+1

.

又由

NA

=λ

NB

，得（x₁+2，y₁）=λ（x₂+2，y₂）
∴

x1+2=λ(x2+2)

y1=λy2.

从而

(1+λ)y2=

4k

2k2+1

λ

y

22

=

2k2

2k2+1

.

消去y₂得

(1+λ)2

λ

=

8

2k2+1

．（10分）
令φ(λ)=

(1+λ)2

λ

，λ∈[

1

5

，

1

3

]，任取

1

5

≤λ1＜λ2≤

1

3

，则φ(λ1)-φ(λ2)=

(1+λ1)2

λ1

-

(1+λ2)2

λ2

=(λ1-λ2)(1-

1

λ1λ2

)＞0．∴φ（λ）是区间[

1

5

，

1

3

]上的减函数，（12分）
从而φ(

1

3

)≤φ(λ)≤φ(

1

5

)，
即

16

3

≤φ(λ)≤

36

5

，∴

16

3

≤

8

2k2+1

≤

36

5

，
解得-

1

2

≤k≤-

2

6

或

2

6

≤k≤

1

2

，适合0＜|k|＜

2

．
因此直线AB的斜率的取值范围是[-

1

2

，-

2

6

]∪[

2

6

，

1

2

]．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：