已知抛物线C1：y2=4px（p＞0），焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；椭圆C2：分别以F1、F2为左、右焦点，其离心率e=12；且抛物线C1和椭圆C2的一个交点记为M．（1）当p=1时，求椭圆C2的标-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C1：y2=4px（p＞0），焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-04 07:30:00

试题原文

已知抛物线C₁：y²=4px（p＞0），焦点为F₂，其准线与x轴交于点F₁；椭圆C₂：分别以F₁、F₂为左、右焦点，其离心率e=

1

2

；且抛物线C₁和椭圆C₂的一个交点记为M．
（1）当p=1时，求椭圆C₂的标准方程；
（2）在（1）的条件下，若直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，且与抛物线C₁相交于A，B两点，若弦长|AB|等于△MF₁F₂的周长，求直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当p=1时，F₂（1，0），F₁（-1，0）
设椭圆C₂的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），∴c=1，

c

a

=

1

2

∵c²=a²-b²，∴a=2，b=

3

故椭圆C₂的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1..（4分）
（2）（ⅰ）若直线l的斜率不存在，则l：x=1，且A（1，2），B（1，-2），∴|AB|=4
又∵△MF₁F₂的周长等于|MF₁|+|MF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=6≠|AB|
∴直线l的斜率必存在．（6分）
（ⅱ）设直线l的斜率为k，则l：y=k（x-1）
由

y2=4x

y=k(x-1)

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∵直线l与抛物线C₁有两个交点A，B
∴△=[-（2k²+4）]²-4k⁴=16k²+16＞0，且k≠0
设则可得x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1
于是|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[(2+

4

k2

)2-4]

=

(1+k2)(

16

k2

+

16

k4

)

=

4(1+k2)

k2

∵△MF₁F₂的周长等于|MF₁|+|MF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=6
∴由

4(1+k2)

k2

=6，解得k=±

2

故所求直线l的方程为y=±

2

(x-1)．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C1：y2=4px（p＞0），焦点为F2，其准线与x轴交于点F1；..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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