已知抛物线C：y=-12x2+6，点P（2，4）、A、B在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．（1）证明：直线AB的斜率为定值．（2）当直线AB在y轴上的截距为正数时，求△PAB面积的最大值及此时直-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线C：y=-12x2+6，点P（2，4）、A、B在抛物线上，且直线PA、..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-05 07:30:00

试题原文

已知抛物线C：y=-

1

2

x²+6，点P（2，4）、A、B在抛物线上，且直线PA、PB的倾斜角互补．
（1）证明：直线AB的斜率为定值．（2）当直线AB在y轴上的截距为正数时，求△PAB面积的最大值及此时直线AB的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：圆锥曲线综合

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证：易知点P在抛物线C上，设PA的斜率为k，则直线PA的方程是y-4=k（x-2）．
代入y=-

1

2

x²+6并整理得x²+2kx-4（k+1）=0此时方程应有根x_A及2，
由韦达定理得：
2x_A=-4（k+1），∴x_A=-2（k+1）．∴y_A=k（x_A-2）+4．=-k²-4k+4．∴A（-2（k+1），-k²-4k+4）．
由于PA与PB的倾斜角互补，故PB的斜率为-k．
同理可得B（-2（-k+1），-k²+4k+4）
∴k_AB=2．
（Ⅱ）∵AB的方程为y=2x+b，b＞0．代入方程y=-

1

2

x²+6消去y得

1

2

x²+2x+b-6=0．
|AB|=2

(1+22)[4-2(b-6)]

=2

5(16-2b)

．
∴S=

1

2

|AB|d=

1

2

?2

5(16-2b)

?

b

5

(16-2b)?b?b

≤

(

16-2b+b+b

3

)3

=

64

3

9

．
此时方程为y=2x+

16

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线C：y=-12x2+6，点P（2，4）、A、B在抛物线上，且直线PA、..”的主要目的是检查您对于考点“高中圆锥曲线综合”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中圆锥曲线综合”。

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