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1、试题题目：设G为△ABC的重心，3|BC|GA+2|CA|GB+23|AB|GC=0，则AB?BCBC?AC的值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-30 07:30:00

试题原文

设G为△ABC的重心，
3
|BC|
GA
+2|CA|
GB
+2
3
|AB|
GC
=
0
，则
AB
?
BC
BC
?
AC
的值=______．

  试题来源：不详   试题题型：填空题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：向量数量积的运算



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
因为
3
|BC|
GA
+2|CA|
GB
+2
3
|AB|
GC
=
0

设三角形的边长顺次为a，b，c，根据正弦定理得：
3
a
GA
+2b
GB
+2
3
c
GC
=
0
，
由点G为三角形的重心，根据中线的性质及向量加法法则得：
3
GA
=
BA
+
CA
，3
GB
=
CB
+
AB
，3
GC
=
AC
+
BC
，
代入上式得：
3
a（
BA
+
CA
）+2b（
AB
+
CB
）+2
3
c（
AC
+
BC
）=
0
，
又
CA
=
CB
+
BA
，上式可化为：
3
a（2
BA
+
CB
）+2b（
AB
+
CB
）+2
3
c（-
BA
+2
BC
）=
0
，
即（2
3
a-2b-2
3
c）
BA
+（-
3
a-2b+4
3
c）
BC
=
0
，
则有
2
3
a-2b-2
3
c=0① 
-
3
a-2b+4
3
c=0② 
，令b=
3
，解得：
a=2
c=1
，
所以cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
22+12-
3
2
2×2×1
=
1
2
，
cosC=
a2+b2-c2
2ab
=
22+
3
2-12
2×2×
3
=
3
2
，
∴
AB
?
BC
BC
?
AC
=
|
AB
|?
|BC
|cos(π-B)
|
BC
|?|
AC
|cosC
=
-c?cosB
bcosC
=
-1?
1
2
3
×
3
2
=-
1
3

故答案为：-
1
3
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设G为△ABC的重心，3|BC|GA+2|CA|GB+23|AB|GC=0，则AB?BCBC?AC的值..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。


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