已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为12，A（-a，0），B（0，b），且△ABF的面积为332，设斜率为k的直线过点F，且与椭圆E相交于M、N两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-30 07:30:00

试题原文

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为

1

2

，A（-a，0），B（0，b），且△ABF的面积为

3

2

，设斜率为k的直线过点F，且与椭圆E相交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若

27

13

≤

AM

?

AN

≤

27

7

，求k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵离心率为

1

2

，∴a=2c，b=

3

c．
∵△ABF的面积为

3

2

，
∴

1

2

(2c+c)×

3

c=

3

2

，∴c=1
∴a=2，∴b=

3

∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）斜率为k的直线过点F，设方程为y=k（x-1）与

x2

4

+

y2

3

=1联立，消元可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=

-9k2

3+4k2

∴

AM

?

AN

=(x1+2，y1)?( x2+2，y2)=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=

27k2

3+4k2

∵

27

13

≤

AM

?

AN

≤

27

7

，∴

27

13

≤

27k2

3+4k2

≤

27

7

∴

1

3

≤k2≤1
∴

3

≤k≤1或-1≤k≤-

3

∴k的取值范围是[

3

，1]∪[-1，-

3

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

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