已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x+3y-3=0与椭圆Γ交于A、B两点，|AB|=2，且∠AOB=π2．（1）求椭圆Γ的方程；（2）若M、N是椭圆Γ上的两点，且满足OM?ON=0，求|MN|的最小-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x+3y-3=0与椭圆Γ交..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-30 07:30:00

试题原文

已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x+

3

y-

3

=0与椭圆Γ交于A、B两点，|AB|=2，且∠AOB=

π

2

．
（1）求椭圆Γ的方程；
（2）若M、N是椭圆Γ上的两点，且满足

OM

?

ON

=0，求|MN|的最小值．

试题来源：武汉模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依题意，设直线l：x+

3

y=

3

与椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由∠AOB=

π

2

，知x₁x₂+y₁y₂=0，而x₁=

3

（1-y₁），x₂=

3

（1-y₂），代入上式得到：4y₁y₂-3（y₁+y₂）+3=0①
由|AB|=2知：|y₁-y₂|=2，即|y₁-y₂|=1，
不妨设y₁＞y₂，则y₂=y₁+1，②
将②式代入①式求得：

y1=0

y2=1

或

y1=

1

2

y2=

3

2

，
∴A（

3

2

，

1

2

），B（-

3

2

，

3

2

）或A（

3

，0），B（0，1），
又A（

3

2

，

1

2

），B（-

3

2

，

3

2

）不合题意，舍去．
∴A（

3

，0），B（0，1），
故所求椭圆Γ的方程为

x2

3

+y²=1．
（2）由题意知M、N是椭圆

x2

3

+y²=1上的两点，且OM⊥ON，
故设M（r₁cosθ，r₁sinθ），N（-r₂sinθ，r₂cosθ），
于是r₁²（

cos2θ

3

+sin²θ）=1，r₂²（

sin2θ

3

+cos²θ）=1，
又（r₁²+r₂²）（

1

r

21

+

1

r

22

）=2+

r

21

r

22

+

r

22

r

21

≥4，
从而|MN|²?

4

3

≥4，即|MN|≥

3

，
故所求|MN|的最小值为

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆Γ的中心在原点O，焦点在x轴上，直线l：x+3y-3=0与椭圆Γ交..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

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