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1、试题题目：已知向量a=(cos(x-π4)，sin(x-π4))，b=(cos(x+π4)，-sin(x+π4))，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-30 07:30:00

试题原文

已知向量
a
=(cos(x-
π
4
)，sin(x-
π
4
))，
b
=(cos(x+
π
4
)，-sin(x+
π
4
))，f(x)=
a
?
b
-k|
a
+
b
|，x∈[0，π]．
（1）若x=
7π
12
，求
a
?
b
及|
a
+
b
|；
（2）若k=1，当x为何值时，f（x）有最小值，最小值是多少？
（3）若f（x）的最大值为3，求k的值．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：向量数量积的运算



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）由题意可知
a
?
b
=(cos(x-
π
4
)，sin(x-
π
4
))? (cos(x+
π
4
)，-sin(x+
π
4
))
=cos(x-
π
4
)?cos(x+
π
4
)- sin(x-
π
4
)?sin(x+
π
4
)
=cos2x，∵x=
7π
12
，∴
a
?
b
=cos2x=-
3
2
．
|
a
+
b
|=|(cos(x-
π
4
)+cos(x+
π
4
)，- sin(x-
π
4
)+sin(x+
π
4
))|
=
(cos(x-
π
4
)+cos(x+
π
4
)2+(-sin(x-
π
4
)+sin(x+
π
4
))2

=
2+2cos2x
=
2-
3
=
6
-
2
2
．
（2）k=1，f(x)=
a
?
b
-k|
a
+
b
|=
a
?
b
-|
a
+
b
|
=2cos2x-2|cosx|-1
当x=
π
3
或x=
2π
3
时，函数f（x）有最小值f（x）min=-
3
2
；
（3）由（2）可知f（x）=2cos2x-2k|cosx|-1
设|cosx|=t，由x∈[0，π]
则：f（x）=g（t）=2t2-2kt-1，t∈[0，1]
当：
k
2
≤
1
2
?k≤1时，f（x）max=g（1）=2-2k-1=3?k=-1
k≤1
k=-1
?k=-1，
当：
k
2
＞
1
2
?k＞1时，f（x）max=g（0）=-1≠3，
综上之：k=-1．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量a=(cos(x-π4)，sin(x-π4))，b=(cos(x+π4)，-sin(x+π4))，..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。


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