已知圆O：x2+y2=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切并与椭圆x22+y2=1交于不同的两点A、B．（Ⅰ）设b=f（k），求f（k）的表达式，并注明k的取值范围；（Ⅱ）若OA?OB=23，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知圆O：x2+y2=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b（b＞0）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-30 07:30:00

试题原文

已知圆O：x²+y²=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b（b＞0）与圆O相切并与椭圆

x2

2

+y2=1交于不同的两点A、B．
（Ⅰ）设b=f（k），求f（k）的表达式，并注明k的取值范围；
（Ⅱ）若

OA

?

OB

=

2

3

，求直线l的方程；
（Ⅲ）若

OA

?

OB

=m（

2

3

≤m≤

3

4

），求△OAB面积S的取值范围．

试题来源：宁德模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）y=kx+b（b＞0）与圆x²+y²=1相切，则

|b|

1+k2

=1，
即b²=k²+1，k≠0，所以b=

k2+1

（b＞0）
∴f(k)=

k2+1

(k∈R， k≠0)（3分）

（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则由

y=kx+b

x2

2

+y2=1

，消去y
得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0
又△=8k²＞0
∴x1+x2=-

4kb

2k2+1

，x1x2=

2b2-2

2k2+1

（5分）
从而

OA

?

OB

=x1x2+y1y2=

k2+1

2k2+1

=

2

3

，∴k=±1
∴b=

k2+1

=

2

（7分）
∴直线l的方程为：±x-y+

2

=0．（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：

k2+1

2k2+1

=m，又

2

3

≤m≤

3

4

∴

2

3

≤

k2+1

2k2+1

≤

3

4

?

1

2

≤k2≤1（10分）
由弦长公式，得|AB|=

k2+1

?

2

2k2

2k2+1

=

2k2(k2+1)

2k2+1

又点O到直线AB的距离d=

|b|

k2+1

=

b

k2+1

=1
∴S=

1

2

|AB|?d=

2k2(k2+1)

2k2+1

（12分）S2=

2k4+2k2

4k4+4k2+1

=

1

2

-

1

2(2k2+1)2

(

1

2

≤k2≤1)
∴

6

4

≤S≤

2

3

（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知圆O：x2+y2=1，点O为坐标原点，一条直线l：y=kx+b（b＞0）..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：