如图所示，已知椭圆C：x2+y2a2=1（a＞1）的离心率为e，点F为其下焦点，点A为其上顶点，过F的直线l：y=mx-c（其中c=a2-1与椭圆C相交于P，Q两点，且满足AP?AQ=a2(a+c)2-12-c2．（1）试用-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，已知椭圆C：x2+y2a2=1（a＞1）的离心率为e，点F为其下焦..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-30 07:30:00

试题原文

如图所示，已知椭圆C：x2+

y2

a2

=1（a＞1）的离心率为e，点F为其下焦点，点A为其上顶点，过F的直线l：y=mx-c（其中c=

a2-1

与椭圆C相交于P，Q两点，且满足

AP

?

AQ

=

a2(a+c)2-1

2-c2

．
（1）试用a表示m²；
（2）求e的最大值；
（3）若e∈（

1

3

，

1

2

），求m的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）直线方程与椭圆方程联立，可得（a²+m²）x²-2mcx-1=0
魔方格

设P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），则x₁+x₂=

2mc

a2+m2

，x₁x₂=

-1

a2+m2

∴y₁+y₂=m（x₁+x₂）-2c=

-2a2c

a2+m2

，y₁y₂=

a2(c2-m2)

a2+m2

∵A（0，a），∴

AP

=（x₁，y₁-a），

AQ

=（x₂，y₂-a）
∴

AP

?

AQ

=x₁x₂+（y₁-a）（y₂-a）=

a2(a+c)2-1

2-c2

∴a²+m²=2-c²=2-（a²-1）
∴m²=3-2a²；
（2）由（1）知，m²=3-2a²≥0
∴3（a²-c²）-2a²≥0
∴a²≥3c²
∴e2≤

1

3

∴e的最大值为

3

；
（3）∵e∈（

1

3

，

1

2

），
∴e2∈(

1

9

，

1

4

)
∴

1

9

＜

a2-1

a2

＜

1

4

∴

9

8

＜a2＜

4

3

∴

1

3

＜m2＜

3

4

∴m的取值范围为(-

3

2

，-

3

)∪(

3

，

3

2

)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示，已知椭圆C：x2+y2a2=1（a＞1）的离心率为e，点F为其下焦..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

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