设向量a=(cos3θ2，sin3θ2)，b=(cosθ2，-sinθ2)，其中θ∈[0，π3]．（1）求a?b|a+b|的最大值和最小值；（2）若|ka+b|=3|a-kb|，求实数k的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：设向量a=(cos3θ2，sin3θ2)，b=(cosθ2，-sinθ2)，其中θ∈[0，π3]．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-30 07:30:00

试题原文

设向量

a

=(cos

3θ

2

， sin

3θ

2

)，

b

=(cos

θ

2

， -sin

θ

2

)，其中θ∈[0，

π

3

]．
（1）求

a

?

b

|

a

+

b

|

的最大值和最小值；
（2）若|k

a

+

b

|=

3

|

a

-k

b

|，求实数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）

a

?

b

=(cos

3θ

2

， sin

3θ

2

)?(cos

θ

2

， -sin

θ

2

)=cos

3θ

2

cos

θ

2

-sin

3θ

2

sin

θ

2

=cos2θ．
|

a

+

b

|=

(

a

+

b

)2

=2cosθ
于是

a?b

|a+b|

=

cos2θ

2cosθ

=

2cos2θ-1

2cosθ

=cosθ-

1

2cosθ

．
因为θ∈[0，

π

3

]，所以cosθ∈[

1

2

， 1]．
故当cosθ=

1

2

即θ=

π

3

时，

a?b

|a+b|

取得最小值-

1

2

；当cosθ=1即θ=0时，

a?b

|a+b|

取得最大值

1

2

．

（2）由|ka+b|=

3

|a-kb|得|ka+b|2=3|a-kb|2?k2+1+2kcos2θ=3(1+k2)-6kcos2θ?cos2θ=

k2+1

4k

．
因为θ∈[0，

π

3

]，所以-

1

2

≤cos2θ≤1．
不等式-

1

2

≤

k2+1

4k

≤1?

(k-1)2

4k

≥0

k2-4k+1

4k

≤0

解得2-

3

≤k≤2+

3

或k=-1，
故实数k的取值范围是[2-

3

， 2+

3

]∪{-1}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设向量a=(cos3θ2，sin3θ2)，b=(cosθ2，-sinθ2)，其中θ∈[0，π3]．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：