已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1；（1）当a为何值时，直线与双曲线有一个交点；（2）直线与双曲线交于P、Q两点且以PQ为直径的圆过坐标原点，求a值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1；（1）当a为何值时，直线与双曲线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-23 07:30:00

试题原文

已知直线y=ax+1与双曲线3x²-y²=1；
（1）当a为何值时，直线与双曲线有一个交点；
（2）直线与双曲线交于P、Q两点且以PQ为直径的圆过坐标原点，求a值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）联立方程组

3x2-y2=1

y=ax+1

，得(3-a2)x2-2ax-2=0．
∵直线l与曲线C有两个交点P、Q，
∴

3-a2≠ 0

△=4a2-4(3-a2)×(-2)=0

或a²-3=0
∴

a2-3≠0

a2-6=0

或a=±

3

∴a=±

3

或a=±

6

（2）设点P、Q的坐标为（x₁，y₁）、（x₂，y₂）．
由（1）可知，

x1+x2=

2a

3-a2

x1x2=

-2

3-a2

．
∵以线段PQ为直径的圆经过原点，
∴

OP

⊥

OQ

，即x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁=ax₁+1，y₂=ax₂+1，
∴x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
即(a2+1)?

-2

3-a2

+a?

2a

3-a2

+1=0，解得a=±1
∴a=±1时，以线段AB为直径的圆经过坐标原点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1；（1）当a为何值时，直线与双曲线..”的主要目的是检查您对于考点“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中双曲线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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