发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-15 07:30:00
试题原文 |
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(1)证明:由f(x)=
由题意可得f′(0)=0,f(0)=-1,解得b=0,c=-1. ∴f(x)=
经检验,f(x)在x=0处取得极大值. 设切点为(x0,y0),则切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0) 即为y=(x02+2ax0)x-
把(-a,f(-a))代入方程可得x03+3ax02+3a2x0+a3=0, 即(x0+a)3=0,所以x0=-a. 即点A为切点,且切点是唯一的,故切线有且只有一条. 所以切线方程为a2x+y+
(2)因为切线方程为y=(x02+2ax0)x-
把(0,0)代入可得
因为有三条切线,故方程得
设g(x)=
g′(x)=2x+2ax,令g′(x)=2x+2ax=0,可得x=0和x=-a. 当x∈(-∞,0)时,g′(x)>0,g(x)为增函数, 当x∈(0,-a)时,g′(x)<0,g(x)为减函数, 当x∈(-a,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数, 所以,当x=0时函数g(x)取得极大值为g(0)=1>0. 当x=-a时函数g(x)取得极小值, 极小值为g(-a)=
因为方程有三个根,故极小值小于零,
(3)证明:假设f′(x1)=f′(x2),则x12+2ax1=x22+2ax2, 所以(x1-x2)(x1+x2)=-2a(x1-x2) 因为x1≠x2,所以x1+x2=-2a. 由(2)可得
因为x1≠x2,故
把x1+x2=-2a代入上式可得,x22+x1x2+x12=3a2, 所以(x1+x2)2-x1x2=3a2,(-2a)2-x1x2=3a2. 所以x1x2=a2. 又由x1x2<(
所以假设不成立,即证得f′(x1)≠f′(x2). |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设函数f(x)=13x3+ax2+bx+c(a<0)在x=0处取得极值-1.(1)设点A(-a,..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的极值与导数的关系”。