已知函数f（x）=exx-a，其中常数（a＜0）．（I）若a=-1，求函数f（x）的定义域及极值；（Ⅱ）若存在实数x∈（a，0]，使得不等式f(x)≤12成立，求a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=exx-a，其中常数（a＜0）．（I）若a=-1，求函数f（x）的定义..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

ex

x-a

，其中常数（a＜0）．
（I）若a=-1，求函数f（x）的定义域及极值；
（Ⅱ）若存在实数x∈（a，0]，使得不等式f(x)≤

1

2

成立，求a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

：（1）函数f（x）的定义域为{x|x≠a}，若a=-1，则f（x）=

ex

x-a

=

ex

x+1

f′（x）=

ex(x+1)-ex

(x+1)2

=

xex

(x+1)2

，
由f'（x）=0，解得x=0
由f'（x）＞0，解得x＞0．由f'（x）＜0，解得x＜0且x≠-1．
∴f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（-∞，-1），（-1，0）．所以f（x）在x=0时取得极小值f（0）=1
（2）由题意可知，a＜0，且f（x）=

ex

x-a

只需在（a，0]上的最小值大于等于

1

2

即可，
①若a+1＜0即a＜-1时，

x	（a，a+1）	a+1	（a+1，0）
f'（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

∴f（x）在（a，0]上的最小值为f（a+1）=e^a+1．则ea+1≥

1

2

，得a≥ln

1

2

-1
②若a+1≥0即a≥-1时，f（x）在（a，0]上单调递减，则f（x）在（a，0]上的最小值为f(0)=-

1

a

由-

1

a

≥

1

2

得a≥-2． …10分
综上所述，0＞a≥ln

1

2

-1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=exx-a，其中常数（a＜0）．（I）若a=-1，求函数f（x）的定义..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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