已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：①f（x）在其定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是a2，最大值是b2．请解答-数学试题及答案

1、试题题目：已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：①f（x）在其定义..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：①f（x）在其定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是

a

2

，最大值是

b

2

．请解答以下问题：
（1）判断函数g（x）=-x³是否属于集合M？并说明理由，若是，请找出满足②的闭区间[a，b]；
（2）若函数h(x)=

x-1

+t∈M，求实数t的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）函数g（x）=-x³的定义域为 R，g′（x）=-3x²≤0 （仅在x=0时取等号），
故函数g（x）在R上是减函数，故满足条件①．
若g（x）∈M，当x∈[a，b]时，

g(a)=

b

2

g(b)=

a

2

a＜b

，即

-a3=

b

2

-b3=

a

2

a＜b

，解得

a=-

2

b=

2

，故满足条件②的闭区间为[-

2

，

2

]．
由此可得，g（x）属于集合M．
（2）函数h（x）的定义域是[1，+∞），当x＞1时，h′(x)=

1

2

x-1

＞0，故函数h（x）在[1，+∞）上是增函数，…（10分）
若h（x）∈M，则存在a，b∈[1，+∞），且a＜b，使得h(a)=

a

2

，h(b)=

b

2

，即a-2

a-1

-2t=0，且b-2

b-1

-2t=0，…（12分）
令

x-1

=y(x≥1)，则y≥0，
于是关于y的方程y²-2y+1-2t=0在[0，+∞）上有两个不等的实根，…（14分）
记u（y）=y²-2y+1-2t，∴

△＞0

u(0)≥0.

，∴t∈(0，

1

2

]．…（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知集合M是同时满足下列两个性质的函数f（x）的全体：①f（x）在其定义..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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