已知f（x）=lnx-ax．（Ⅰ）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；（Ⅱ）若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）若f（x）在[1，e]上的最小值为32，求a的值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=lnx-ax．（Ⅰ）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-10 07:30:00

试题原文

已知f（x）=lnx-

a

x

．
（Ⅰ）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，试求a的取值范围；
（Ⅲ）若f（x）在[1，e]上的最小值为

3

2

，求a的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的定义域、值域

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）已知函数定义域为（0，+∝），
又有a＞0，则y₂=-

a

x

是增函数，
y₁=lnx与y₂=-

a

x

都是增函数，
故f（x）=lnx-

a

x

在定义域上是增函数．
（Ⅱ）由已知f（x）＜x²，即f（x）=lnx-

a

x

＜x²，在（1，+∞）上恒成立，
即a＞xlnx-x³在（1，+∞）上恒成立
令g（x）=xlnx-x³，则g′（x）=lnx-3x²+1，
又[g′（x）]'=

1

X

-6x＜0，在（1，+∞）上恒成立，
所以g′（x）在（1，+∞）上为减函数，故g′（x）＜g′（1）＜0，
因此g（x）在（1，+∞）为减函数，
故a≥g（1），即a≥-1．（5分）
（III）分三种情况讨论，
（1）令f′（x）≥0，在[1，e]上恒成立，x+a≥0，即a≥-x，
则a≥-1时．此时f（x）在[1，e]上为增函数．
f（x）_min=f（1）=-a=

3

2

，
得a=-

3

2

，（舍去）
（2）令f′（x）≤0，在[1，e]上恒成立，有x+a≤0，即a≤-x，
则a≤-e时．此时f（x）在[1，e]上为减函数．
则f（x）_min=f（e）=1-

a

e

=

3

2

，
得a=-

e

2

（舍去），
（3）当-e＜x＜-1时，令f′（x）=0，得x₀=-a，
当1＜x＜x₀时，f′（x）＜0，f（x）在（1，x₀）上为减函数，
当x₀＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）在（x₀，e）上为增函数，
f（x）_min=f（-a）=ln（-a）+1=

3

2

，
解可得a=-

e

，
综上可得，a=-

e

．（6分）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=lnx-ax．（Ⅰ）当a＞0时，判断f（x）在定义域上的单调性..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的定义域、值域”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的定义域、值域”。

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