已知函数f(x)=13x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．（1）求f（x）；（2）设g(x)=xf′(x)，m＞0，求函数g（x）在[0，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=13x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

3

x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f′（x）为f（x）的导函数，且满足f′（2-x）=f′（x）．
（1）求f（x）；
（2）设g(x)=x

f′(x)

， m＞0，求函数g（x）在[0，m]上的最大值；
（3）设h（x）=lnf′（x），若对一切x∈[0，1]，不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立，求实数t的取值范围．

试题来源：深圳一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）求导数可得f′（x）=x²+2bx+c
∵f′（2-x）=f′（x），∴f′（x）关于x=1对称，∴b=-1
与x轴交点处的切线为y=4x-12，设交点为（a，0），则f（a）=0，f′（a）=4
∴在（a，0）处的切线为：y=4（x-a）+0=4x-4a=4x-12，∴4a=12，∴a=3
由f'（3）=9-6+c=3+c=4得：c=1
由f（3）=

1

3

×27-3²+3+d=0得：d=-3
所以有：f(x)=

1

3

x3-x²+x-3
（2）g(x)=x

f′(x)

=x|x-1|
当x≥1时，g（x）=x（x-1）=x²-x=（x-

1

2

）²-

1

4

，函数为增函数
x＜1时，g（x）=-x²+x=-（x-

1

2

）²+

1

4

，最大为g（

1

2

）=

1

4

比较g（m）=m（m-1）与

1

4

得：m≥

1+

2

时，m（m-1）≥

1

4

因此，0＜m≤

1

2

时，g（x）的最大值为m-m²；

1

2

＜m≤

1+

2

时，g（x）的最大值为

1

4

；
m＞

1+

2

时，g（x）最大值为m²-m
（3）h（x）=lnf′（x）=ln（x-1）²，
当x∈[0，1]时，h（x）=2ln（1-x）
此时不等式h（x+1-t）＜h（2x+2）恒成立
则有2ln（t-x）＜2ln（-2x-1）
∴0＜t-x＜-2x-1，
可得t＞x且t＜-x-1，
又由x∈[0，1]，
则有-1＜t＜0

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=13x3+bx2+cx+d，设曲线y=f（x）在与x轴交点处的切线为..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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