已知函数f（x）=-13x3+bx2+cx+bc，（1）若函数f（x）在x=1处有极值-43，试确定b、c的值；（2）在（1）的条件下，曲线y=f（x）+m与x轴仅有一个交点，求实数m的取值范围；（3）记g（x）=|f′（x）-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=-13x3+bx2+cx+bc，（1）若函数f（x）在x=1处有极值-43，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=-

1

3

x³+bx²+cx+bc，
（1）若函数f（x）在x=1处有极值-

4

3

，试确定b、c的值；
（2）在（1）的条件下，曲线y=f（x）+m与x轴仅有一个交点，求实数m的取值范围；
（3）记g（x）=|f′（ x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的取值范围．
（参考公式：x³-3bx²+4b³=（x+b）（x-2b）²）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）解

f(1)=-

4

3

f/(1)=0

得

b=1

c=-1

或

b=-1

c=3

．…（2分）
若

b=1

c=-1

，f(x)=-

1

3

x3+x2-x-1，f'（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²≤0f（x）在R上单调递减，在x=1处无极值；
若

b=-1

c=3

，f(x)=-

1

3

x3-x2+3x-3，f'（x）=-x²-2x+3=-（x-1）（x+3），
直接讨论知，f（x）在x=1处有极大值，所以

b=-1

c=3

为所求．…（4分）
（2）由（1）y=f(x)+m=-

1

3

x3-x2+3x-3+m，y极小值=m-12，y极大值=m-

4

3

，…（6分）
当y_极小值=m-12＞0，或y极大值=m-

4

3

＜0，曲线y=f（x）+m与x轴仅有一个交点．…（8分）
因此，实数m的取值范围是m＞12或m＜

4

3

．…（9分）
（3）g（x）=|-（x-b）²+b²+c|．若|b|＞1，
则f'（x）在[-1，1]是单调函数，M=max{|f'（-1）|，|f'（1）|}={|-1+2b+c|，|-1-2b+c|}，因为f'（1）与f'（-1）之差的绝对值|f'（1）-f'（-1）|=|4b|＞4，所以M＞2．…（11分）
若|b|≤1，f'（x）在x=b∈[-1，1]取极值，
则M=max{|f'（-1）|，|f'（1）|，|f'（b）|}，f'（b）-f'（±1）=（b?1）²．
若-1≤b＜0，f'（1）≤f'（-1）≤f'（b），M=max{|f′(1)|，|f′(b)|}≥

1

2

|f′(1)-f′(b)|=

1

2

(b-1)2＞

1

2

；
若0≤b≤1，f'（-1）≤f'（1）≤f'（b），M=max{|f'（-1）|，|f'（b）|}≥

1

2

|f′(-1)-f′(b)|=

1

2

(b+1)2≥

1

2

．
当b=0，c=

1

2

时，g(x)=|f′(x)|=|-x2+

1

2

|在[-1，1]上的最大值M=

1

2

．…（13分）
所以，k的取值范围是(-∞，

1

2

]．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=-13x3+bx2+cx+bc，（1）若函数f（x）在x=1处有极值-43，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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