已知函数f（x）=12x2-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．（I）求函数f（x）的导函数f′（x）的最小值；（II）当a=3时，求函数h（x0的单调区间及极值；（III）若对任意-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=12x2-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-08 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=

1

2

x²-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其中a∈R且a＞1．
（I）求函数f（x）的导函数f′（x）的最小值；
（II）当a=3时，求函数h（x0的单调区间及极值；
（III）若对任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，函数h（x）满足

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）f′(x)=x-3+

a-1

x

=x+

a-1

x

-3，其中x＞0．
因为a＞1，所以a-1＞0，又x＞0，所以x+

a-1

x

-3≥2

a-1

-3，
当且仅当x=

a-1

时取等号，其最小值为2

a-1

-3．…（4分）
（II）当a=3时，h(x)=

1

2

x2+2lnx-3x，h′(x)=x+

2

x

-3=

(x-1)(x-2)

x

．…..（6分）
x，h′（x），h（x）的变化如下表：

x

（0，1）

1

（1，2）

2

（2，+∞）

h′（x）

+

0

-

0

+

h（x）

递增

-

5

2

递减

2ln2-4

递增

所以，函数h（x）的单调增区间是（0，1），（2，+∞）；单调减区间是（1，2）．
…．（8分）
函h（x）在x=1处取得极大值-

5

2

，在x=2处取得极小2ln2-4．
…．（10分）
（III）由题意h(x)=

1

2

x2+(a-1)lnx-ax(a＞0)．
不妨设x₁＜x₂，则

h(x1)-h(x2)

x1-x2

＞-1得h（x₁）+x₁＜h（x₂）+x₂．…（12分）
令F(x)=h(x)+x=h(x)=

1

2

x2+(a-1)lnx-ax+x，则函数F（x）在（0，+∞）单调递增．
F′(x)=x-(a-1)+

a-1

x

=

x2-(a-1)x+a-1

x

≥0在（0，+∞）恒成立．
即G（x）=x²-（a-1）x+a-1≥0（在0，+∞）恒成立．
因为G(0)=a-1＞0，

a-1

2

＞0，因此，只需△=（a-1）²-4（a-1）≤0．
解得1＜a≤5．
故所求实数a的取值范围1＜a≤5．…．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=12x2-3x+（a-1）lnx，g（x）=ax，h（x）=f（x）-g（x）+3x，其..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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