设函数f（x）=x2-2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求实数a的取值范围．（3）若对任意的x1，x2∈[0，-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x2-2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x²-2tx+2，其中t∈R．
（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4]上的取值范围；
（2）若t=1，且对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5，求实数a的取值范围．
（3）若对任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤8，求t的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

因为f（x）=x²-2tx+2=（x-t）²+2-t²，
所以f（x）在区间（-∞，t]上单调减，在区间[t，∞）上单调增，且对任意的x∈R，都有f（t+x）=f（t-x），
（1）若t=1，则f（x）=（x-1）²+1．
①当x∈[0，1]时．f（x）单调减，从而最大值f（0）=2，最小值f（1）=1．
所以f（x）的取值范围为[1，2]；
②当x∈[1，4]时．f（x）单调增，从而最大值f（4）=10，最小值f（1）=1．
所以f（x）的取值范围为[1，10]；
所以f（x）在区间[0，4]上的取值范围为[1，10]． …（3分）
（2）“对任意的x∈[a，a+2]，都有f（x）≤5”等价于“在区间[a，a+2]上，[f（x）]_max≤5”．
①若t=1，则f（x）=（x-1）²+1，
所以f（x）在区间（-∞，1]上单调减，在区间[1，∞）上单调增．
②当1≤a+1，即a≥0时，
由[f（x）]_max=f（a+2）=（a+1）²+1≤5，得-3≤a≤1，
从而 0≤a≤1．
③当1＞a+1，即a＜0时，由[f（x）]_max=f（a）=（a-1）²+1≤5，得-1≤a≤3，
从而-1≤a＜0．
综上，a的取值范围为区间[-1，1]． …（6分）
（3）设函数f（x）在区间[0，4]上的最大值为M，最小值为m，
所以“对任意的x₁，x₂∈[0，4]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤8”等价于“M-m≤8”．
①当t≤0时，M=f（4）=18-8t，m=f（0）=2．
由M-m=18-8t-2=16-8t≤8，得t≥1．
从而 t∈?．
②当0＜t≤2时，M=f（4）=18-8t，m=f（t）=2-t²．
由M-m=18-8t-（2-t²）=t²-8t+16=（t-4）²≤8，得
4-2

2

≤t≤4+2

2

．
从而 4-2

2

≤t≤2．
③当2＜t≤4时，M=f（0）=2，m=f（t）=2-t²．
由M-m=2-（2-t²）=t²≤8，得-2

2

≤t≤2

2

．
从而 2＜t≤2

2

．
④当t＞4时，M=f（0）=2，m=f（4）=18-8t．
由M-m=2-（18-8t）=8t-16≤8，得t≤3．
从而 t∈?．
综上，t的取值范围为区间[4-2

2

，2

2

]． …（10分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x2-2tx+2，其中t∈R．（1）若t=1，求函数f（x）在区间[0，4..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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