设α、β为函数g（x）=2x2-mx-2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f(x)=4x-mx2+1?（I）求f（a）?g（x）的值；（Ⅱ）证明：函数f（x）在[α，β]上为增函数；（III）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]-数学试题及答案

1、试题题目：设α、β为函数g（x）=2x2-mx-2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f(x)=4x-m..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

设α、β为函数g（x）=2x²-mx-2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f(x)=

4x-m

x2+1

?
（ I）求f（a）?g（x）的值；
（Ⅱ）证明：函数f（x）在[α，β]上为增函数；
（III）是否存在实数m，使得函数f（x）在[α，β]上的最大值与最小值之差达到最小．若存在，则求出实数m的值；否则，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（ I）由题意可得

α+β=

m

2

αβ=-1

，故 f（α）?f（β）=

4a-m

a2+1

×

4β-m

β2+1

=

16αβ-4m(α+β)+m2

(αβ)2+(α+β)2-2αβ+1

=-4．（4分）
（Ⅱ）?x₁，x₂∈[α，β]，x₁＜x₂，可得f(x1)-f(x2)=

(x2-x1)[4x1x2-4-m(x2+x1)]

(

x

21

+1)(

x

22

+1)

．
∵（x₁-α）（x₂-β）≤0，（x₁-β）（x₂-α）＜0，两式相加可得 2x₁x₂-（α+β）（x₁+x₂）+2αβ＜0．
∵α+β=

m

2

，αβ=-1，∴（x₂-x₁）[4x₁x₂-4-m（x₂+x₁）]＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴函数f（x）在[α，β]上为增函数．（4分）
（III）函数f（x）在[α，β]上的最大值与最小值之差为 f(β)-f(α)=f(β)+

4

f(β)

≥4，
当且仅当 f（β）=

4

f(β)

时，等号成立，此时，f（β）=2，即

4β-m

β2+1

=2，2β²-mβ-2=0．
结合α+β=

m

2

，αβ=-1可得m=0．
综上可得，存在实数m=0，满足条件．（5分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设α、β为函数g（x）=2x2-mx-2的两个零点，m∈R且α＜β，函数f(x)=4x-m..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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