已知函数f（x）=-x2+2ax-1，x∈[-2，2]，（1）当a=1时，求f（x）的最大值与最小值；（2）求实数a的取值范围，使函数f（x）在[-2，2]上是减函数；（3）求函数f（x）的最大值g（a），并求g（a）的-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=-x2+2ax-1，x∈[-2，2]，（1）当a=1时，求f（x）的最大值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=-x²+2ax-1，x∈[-2，2]，
（1）当a=1时，求f（x）的最大值与最小值；
（2）求实数a的取值范围，使函数f（x）在[-2，2]上是减函数；
（3）求函数f（x）的最大值g（a），并求g（a）的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）当a=1时，f（x）=-x²+2x-1=-（x-1）²，
∵-2≤x≤2
∴f（x）_min=f（-2）=-9，f（x）_max=
f（1）=0
（2）∵f（x）=-x²+2ax-1=-（x-a）²+a²-1
∴当x≥a时，f（x）为减函数，
当x≤a时，f（x）为增函数
∴要使f（x）在[-2，2]上为减函数，
则[-2，2]?[a，+∞），
解得：a≤-2，
∴a的取值范围是（-∞，-2]
（3）由f（x）=-x²+2ax-1=-（x-a）²+a²-1（-2≤x≤2）
∴当-2≤a≤2时，g（a）=f（a）=a²-1
当a＜-2时，g（a）=f（-2）=-4a-5
当a＞2时，g（a）=f（2）=4a-5
∴g（a）=

-4a-5	(a＜-2)
a2-1	(-2≤a≤2)
4a-5	(a＞2)

∴当-2≤a≤2时，g（a）=a²-1，
∴-1≤g（a）＜3
当a＞2时，g（a）=4a-5，
∴g（a）＞3
当a＜-2时，g（a）=-4a-5，
∴g（a）＞3
综上得：g（a）≥-1
∴g（a）的最小值为-1，此时a=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=-x2+2ax-1，x∈[-2，2]，（1）当a=1时，求f（x）的最大值..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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