设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）同时满足下列条件：①f（1）=1；②当x∈R时，恒有f（x）≥x成立；③当x∈R时，恒有f（x-4）=f（2-x）成立．（1）求f（x）的表达式；（2）设g（x）=4f（x）-4x+2，试-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）同时满足下列条件：①f（1）=1；..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）同时满足下列条件：①f（1）=1；②当x∈R时，恒有f（x）≥x成立；③当x∈R时，恒有f（x-4）=f（2-x）成立．
（1）求f（x）的表达式；
（2）设g（x）=4f（x）-4x+2，试问g（x）是否存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足下列条件：①g（x）在[a，b]上单调；②若g（x）的定义域是[a，b]，则其值域也是[a，b]．若存在，求出这样的区间[a，b]，若不存在，试说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因当x∈R时，恒有f（x）≥x成立，
即ax²+（b-1）x+c≥0，∴△=（b-1）²-4ac≤0，且a＞0，①
当x∈R时，恒有f（x-4）=f（2-x）成立，则函数f（x）=ax²+bx+c和图象的对称轴是x=-1，
即-

b

2a

=-1，∴b=2a，②
又f（1）=1，∴a+b+c=1，③
由①②③解得：a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

，
∴f（x）的表达式为f（x）=

1

4

x²+

1

2

x+

1

4

．
（2）g（x）=4f（x）-4x+2=x²-2x+3，
假设存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足下列条件：①g（x）在[a，b]上单调；②若g（x）的定义域是[a，b]，则其值域也是[a，b]．
∵g（x）在[a，b]上单调，∴a≥1或b≤1．
当a≥1时，g（x）在[a，b]上单调增，若g（x）的定义域是[a，b]，则值域为[a²-2a+3，b²-2b+3]，
∴

a2-2a+3=a

b2-2b+3=b

，此方程组无解；
当b≤1时，g（x）在[a，b]上单调减，若g（x）的定义域是[a，b]，则值域为[b²-2b+3，a²-2a+3]，
∴

a2-2a+3=b

b2-2b+3=a

，此方程组无解；
综上可知，不存在这样的区间[a，b]（a＜b）同时满足条件．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）同时满足下列条件：①f（1）=1；..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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