已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立，设向量a=（sinx，2），b=（2sinx，12），c=（cos2x，1），d=（1，2），当x∈[0，π]时，求不等式f（a?b）＞f（c?d）的解集．-数学试题及答案

1、试题题目：已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立，设向量a=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立，设向量

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（cos2x，1），

d

=（1，2），当x∈[0，π]时，求不等式f（

a

?

b

）＞f（

c

?

d

）的解集．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设f（x）的二次项系数为m，m≠0，
设其图象上两点为（1-x，y₁）、B（1+x，y₂）
因为

(1-x)+(1+x)

2

=1，f（1-x）=f（1+x），
所以y₁=y₂，由x的任意性得f（x）的图象关于直线x=1对称，
若m＞0，则x≥1时，f（x）是增函数，若m＜0，则x≥1时，f（x）是减函数．
∵

a

?

b

=（sinx，2）?（2sinx，

1

2

）=2sin²x+1≥1，

c

?

d

=（cos2x，1）?（1，2）=cos2x+2≥1，
∴①当m＞0时，f（

a

?

b

）＞f（

c

?

d

）?f（2sin²x+1）＞f（cos2x+1）
∴2sin²x+1＞cos2x+2
∴1-cos2x+1＞cos2x+2
∴2cos2x＜0∴cos2x＜0∴2kπ+

π

2

＜2x＜2kπ+

3

2

π，k∈Z．
∵0≤x≤π，∴

π

4

＜x＜

3

4

π．
②当m＜0时，同理可得0≤x＜

π

4

＜或

3

4

π＜x≤π．
综上：f（

a

?

b

）＞f（

c

?

d

）的解集是：
当m＞0时，为{x|

π

4

＜x＜

3

4

π}；
当m＜0时，为{x|0≤x＜

π

4

，或

3

4

π＜x≤π}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知二次函数f（x）对任意x∈R，都有f（l-x）=f（l+x）恒成立，设向量a=..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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