已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，过点F1斜率为正数的直线交Γ与A、B两点，且AB⊥AF2，|AF2|、|AB|、|BF2|成等差数列．（Ⅰ）求Γ的离心率；（Ⅱ）若直线y=kx（k＜0）与-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，过..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知椭圆Γ：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点为F₁、F₂，过点F₁斜率为正数的直线交Γ与A、B两点，且AB⊥AF₂，|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等差数列．
（Ⅰ）求Γ的离心率；
（Ⅱ）若直线y=kx（k＜0）与Γ交于C、D两点，求使四边形ABCD面积S最大时k的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）根据椭圆定义及已知条件，有
|AF₂|+|AB|+|BF₂|=4a，①
|AF₂|+|BF₂|=2|AB|，②
|AF₂|²+|AB|²=|BF₂|²，③…（3分）
由①、②、③，解得|AF₂|=a，|AB|=

4

3

a，|BF₂|=

5

3

a，
所以点A为短轴端点，b=c=

2

a，
Γ的离心率e=

c

a

=

2

．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），Γ的方程为x²+2y²=a²．
不妨设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂）（x₁＜x₂），
则C、D坐标满足

x2+2y2=a2

y=kx

，
由此得x₁=-

a

1+2k2

，x₂=

a

1+2k2

．
设C、D两点到直线AB：x-y+

2

a=0的距离分别为d₁、d₂，
因C、D两点在直线AB的异侧，则
d₁+d₂=

(x2-x1)-(y2-y1)

2

=

(1-k)(x2-x1)

2

=

2

(1-k)a

1+2 k2

．…（8分）
∴S=

1

2

|AB|（ d₁+d₂）
=

1

2

?

4

3

a?

2

(1-k)a

1+2k2

=

2

a2

3

?

1-k

1+2 k2

．
设t=1-k，则t＞1，

(1-k )2

1+2k2

=

t2

2t2-4t+3

=

1

2-

4

t

+

3

t2

，
当

1

t

=

2

3

，即k=-

1

2

时，

(1-k)2

1+2k2

最大，进而S有最大值．…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点为F1、F2，过..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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