已知f（x）是二次函数，若f（0）=0且f（x+1）-f（x）=x+1，求函数f（x）的解析式，并求出它在区间[-1，3]上的最大、最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）是二次函数，若f（0）=0且f（x+1）-f（x）=x+1，求函数f（x）的解..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-11 07:30:00

试题原文

已知f（x）是二次函数，若f（0）=0且f（x+1）-f（x）=x+1，求函数f（x）的解析式，并求出它在区间[-1，3]上的最大、最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：二次函数的性质及应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵f（0）=0，∴可设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）．
∵f（x+1）-f（x）=x+1，∴a（x+1）²+b（x+1）-[ax²+bx]=x+1，
化为（2a-1）x+a+b-1=0．
此式对于任意实数x恒成立，因此

2a-1=0

a+b-1=0

，解得a=b=

1

2

．
∴f(x)=

1

2

x2+

1

2

x．
∵f(x)=

1

2

(x+

1

2

)2-

1

8

．
∴函数f（x）在区间[-1，-

1

2

]上单调递减，在区间[-

1

2

，3]上单调递增．
∵f（-1）=0，f(-

1

2

)=-

1

8

，f（3）=6．
∴函数f（x）在区间[-1，3]上的最大、最小值分别为6，-

1

8

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）是二次函数，若f（0）=0且f（x+1）-f（x）=x+1，求函数f（x）的解..”的主要目的是检查您对于考点“高中二次函数的性质及应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中二次函数的性质及应用”。

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