如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）。（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-13 07:30:00

试题原文

如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）。

（1）试证明：无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；
（3）设点E是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小？求出此时点P的坐标和△PDE的周长；
（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°？若存在，请直接写出点P的坐标。

试题来源：新疆自治区中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）∵点D是OA的中点
∴OD=2，
∴OD=OC
又∵OP是∠COD的角平分线，
∴∠POC=∠POD=45°，
∴△POC≌△POD，
∴PC=PD。
（2）过点B作∠AOC的平分线的垂线，垂足为P，点P即为所求
易知点F的坐标为（2，2），故BF=2，作PM⊥BF，
∵△PBF是等腰直角三角形，
∴PM=

BF=1，
∴点P的坐标为（3，3）
∵抛物线经过原点，
∴设抛物线的解析式为y=ax²+bx
又∵抛物线经过点P（3，3）和点D（2，0），
∴有

解得

∴抛物线的解析式为

。
（3）由等腰直角三角形的对称性知D点关于∠AOC的平分线的对称点即为C点
连接EC，它与∠AOC的平分线的交点即为所求的P点（因为PE+PD=EC，而两点之间线段最短），
此时△PED的周长最小
∵抛物线y=x²-2x的顶点E的坐标（1，-1），C点的坐标（0，2），
设CE所在直线的解析式为y=kx+b
则有