正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时.PM?PN的最大值为_____

1、试题题目：正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-02 07:30:00

试题原文

正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），P为正方体表面上的动点，当弦MN最长时.

PM

?

PN

的最大值为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：空间向量的数量积及坐标表示

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设点O是此正方体的内切球的球心，半径R=1．
∵

PM

?

PN

≤|

PM

| |

PN

|，∴当点P，M，N三点共线时，

PM

?

PN

取得最大值．
此时

PM

?

PN

≤(

PO

-

MO

)?(

PO

+

ON

)，而

MO

=

ON

，
∴

PM

?

PN

≤

PO

2-R2=

PO

2-1，
当且仅当点P为正方体的一个顶点时上式取得最大值，
∴(

PM

?

PN

)max=(

2

3

2

)2-1=2．
故答案为2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，MN是它的内切球的一条弦（把球面上..”的主要目的是检查您对于考点“高中空间向量的数量积及坐标表示”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中空间向量的数量积及坐标表示”。

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