如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA=PB=22AB，∠ABC=60°，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：CE⊥PA；（Ⅱ）若F为线段PD上的点，且EF与平面PEC的夹角为45°，求平面EFC与平-数学试题及答案

1、试题题目：如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA=PB=22A..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA=PB=

2

AB，∠ABC=60°，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：CE⊥PA；
（Ⅱ）若F为线段PD上的点，且EF与平面PEC的夹角为45°，求平面EFC与平面PBC夹角的余弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：在菱形ABCD中，∵∠ABC=60°
∴△ABC为正三角形，
又∵E为AB的中点
∴CE⊥AB，
∵平面PAB⊥平面ABCD，AB为平面PAB与平面ABCD的交线，
∴CE⊥平面PAB，
又∵PA?平面PAB
∴CE⊥PA…（4分）
（Ⅱ）∵PA=PB，E为AB的中点，
∴PE⊥AB，
又∵PE⊥CE，AB∩CE=E
∴PE⊥平面ABCD，
以E为坐标原点，EB，EC，EP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系如图所示
设AB=2，则PA=PB=

2

，EP=EA=EB=1，EC=

3

，
∴E（0，0，0），B（1，0，0，），C（0，

3

，0），P（0，0，1），D（-2，

3

，0）
设

EF

=

EP

+k

PD

，其中0≤k≤1，则

EF

=(-2k，

3

k，1-k)，
∵

EB

=(1，0，0)为平面PEC的法向量，
∴

2

=|cos(

EF

，

EB)|

，得k=

1

2

，
即F是PD的中点，∴F（-1，

3

2

，

1

2

）…（9分）
设

n

=(x，y，z)为平面EFC的法向量，则

n

?

EF

=0

n

?

EC

=0

-x+

3

2

y+

1

2

z=0

3

y=0

令z=2，得x=1，取

n

=(1，0，2)，
设

m

=(x1，y1，z1)为平面PBC的法向量，则

m

?

PB

=0

m

?

PC

=0

得出

x1-z1=0

3

y1-z1=0

令z₁=1，得x1=1，y1=

3

，取

m

=(1，

3

，1)，
设平面EFC与平面PBC夹角为θ，则cosθ=|cos（

n

，

m

）|=|

n

?

m

|

n

|?|

m

|

|=

3

105

35

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图：已知△PAB所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且PA=PB=22A..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：