如图，已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正六边形、侧面全为正方形的棱柱，上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥，其侧棱长都为13．（1）证明：DF1⊥平面PA1F1；（2）求异面直线-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正六边形、侧面全为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-19 07:30:00

试题原文

如图，已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正六边形、侧面全为正方形的棱柱，上部是一个侧面全为等腰三角形的棱锥，其侧棱长都为

13

．
（1）证明：DF₁⊥平面PA₁F₁；
（2）求异面直线DF₁与B₁C₁所成角的余弦值．

试题来源：佛山二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面垂直的判定与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵侧面全为矩形，∴AF⊥FF₁；
在正六边形ABCDEF中，AF⊥DF，…（1分）
又DF∩FF₁=F，∴AF⊥平面DFF₁； …（2分）
∵AF∥A₁F₁，∴A₁F₁⊥平面DFF₁；
又DF₁?平面DFF₁，∴A₁F₁⊥DF₁；…（5分）
在△DFF₁中，FF₁=2，DF=2

3

，∴DF₁=4，
又PF1=PD1=

13

；
∴在平面PA₁ADD₁中，如图所示，PD=

52+22

=

29

，
∴DF₁²+PF₁²=PD²，故DF₁⊥PF₁； …（7分）
又A₁F₁∩PF₁=F₁，∴DF₁⊥平面PA₁F₁． …（8分）
（2）
魔方格

以底面正六边形ABCDEF的中心为坐标原点O，以OD为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
所以D（0，2，0），B1(

3

，-1，2)，C1(

3

，1，2)，F1(-

3

，-1，2)，
∴

B1C1

=(0，2，0)，

DF1

=(-

3

，-3，2)，…（11分）
设异面直线DF₁与B₁C₁所成角为θ，则θ∈(0，

π

2

]，
∴cosθ=|cos＜

B1C1

，

DF1

＞|=|

B1C1

?

DF1

|

B1C1

|?|

DF1

|

|=|

-6

2×4

|=

3

4

…（13分）
异面直线DF₁与B₁C₁
所成角的余弦值为

3

4

． …（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知几何体的下部是一个底面是边长为2的正六边形、侧面全为..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面垂直的判定与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面垂直的判定与性质”。

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