已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且|a-kb|=3|ka+b|，其中k＞0，（1）试用k表示a?b，并求出a?b的最大值及此时a与b的夹角为θ的值；（2）当a?b取得最大值时，求实数λ，使|a+λb|的值最小，-数学试题及答案

1、试题题目：已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且|a-kb|=3|ka+b|，其中k..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-17 07:30:00

试题原文

已知向量

a

，

b

满足|

a

|=|

b

|=1，且|

a

-k

b

|=

3

|k

a

+

b

|，其中k＞0，
（1）试用k表示

a

?

b

，并求出

a

?

b

的最大值及此时

a

与

b

的夹角为θ的值；
（2）当

a

?

b

取得最大值时，求实数λ，使|

a

+λ

b

|的值最小，并对这一结果作出几何解释．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用数量积表示两个向量的夹角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵|

a

|=|

b

|=1，|

a

-k

b

|=

3

|k

a

+

b

|，
∴

a

2-2k

a

?

b

+k2

b

2=3k²

a

2+6k

a

?

b

+3

b

2，∴1-2k

a

?

b

+k²=3k²+6k

a

?

b

+3，
∴

a

?

b

=-（

k

4

+

1

4k

）．∵

k

4

+

1

4k

≥2×

1

4

=

1

2

，
∴

a

?

b

≤-

1

2

，当且仅当

k

4

=

1

4k

，即k=1时，取等号．
此时，

a

?

b

=-

1

2

=1×1cosθ，∴θ=120°．
（2）当

a

?

b

取得最大值时，

a

?

b

=-

1

2

，|

a

+λ

b

|=

|

a

+λ

b

|2

=

1+2λ?

a

?

b

+λ2

=

1 -λ+λ2

，
故当λ=

1

2

时，|

a

+λ

b

|的最小值等于

1-

1

2

+

1

4

=

3

2

，
这一结果的几何解释：平行四边形OABC中，OA=1，∠AOC=120°，当且仅当OC=

1

2

时，对角线OB最短为

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知向量a，b满足|a|=|b|=1，且|a-kb|=3|ka+b|，其中k..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积表示两个向量的夹角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积表示两个向量的夹角”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：