若a，b是两个非零向量，且|a|=|b|=λ|a+b|，λ∈[33，1]，则b与a-b的夹角的取值范围是_____

1、试题题目：若a，b是两个非零向量，且|a|=|b|=λ|a+b|，λ∈[33，1]，则b与a-b的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-17 07:30:00

试题原文

若

a

，

b

是两个非零向量，且|

a

|=|

b

|=λ|

a

+

b

|，λ∈[

3

，1]，则

b

与

a

-

b

的夹角的取值范围是______．

试题来源：嘉兴一模试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用数量积表示两个向量的夹角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵|

a

|=|

b

|=λ|

a

+

b

|，λ∈[

3

，1]，
不妨设|

a

+

b

|=1，则|

a

|=|

b

|=λ．
令

OA

=

a

，

OB

=

b

，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，
则平行四边形OACB为菱形．
故有△OAB为等腰三角形，故有∠OAB=∠OBA=θ，
且0＜θ＜

π

2

．
而由题意可得，

b

与

a

-

b

的夹角，即

OB

与

BA

的夹角，
等于π-θ．
△OAC中，由余弦定理可得 OC²=1=OA²+AC²-2OA?AC?cos2θ=λ²+λ²-2?λ?λcos2θ，
解得 cos2θ=1-

1

2λ2

．
再由

3

≤λ≤1，可得

1

2

≤

1

2λ2

≤

3

2

，∴-

1

2

≤cos2θ≤

1

2

，∴

π

3

＜2θ≤

2π

3

，∴

π

6

＜θ≤

π

3

，
故

π

3

≤π-θ＜

5π

6

，即

b

与

a

-

b

的夹角π-θ的取值范围是[

π

3

，

5π

6

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“若a，b是两个非零向量，且|a|=|b|=λ|a+b|，λ∈[33，1]，则b与a-b的..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积表示两个向量的夹角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积表示两个向量的夹角”。

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