如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AD，点Q是PA的中点，PA=4，AB=2．（1）求证：PC⊥BD；（2）求点Q到BD的距离；（3）求点A到平面QBD的距离．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AD，点Q是PA的中..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-13 07:30:00

试题原文

如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AD，点Q是PA的中点，PA=4，AB=2．
（1）求证：PC⊥BD；
（2）求点Q到BD的距离；
（3）求点A到平面QBD的距离．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：点到直线、平面的距离

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）

连接AC
∵PA⊥AB，PA⊥AD，AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD（2分）
∴AC为斜线PC在平面ABCD内的射影
∵ABCD是正方形
∴AC⊥BD
∴PC⊥BD（4分）
（2）设AC∩BD=O，连接OQ
∵Q为PA中点，O为AC中点
∴OQ∥PC
∵PC⊥BD
∴OQ⊥BD
∴OQ的长就是点Q到BD的距离（7分）
∵AB=2，PA=4∴AC=2

2

∴OA=

2

，QA=2
∴OQ=

QA2+OA2

=

6

即点Q到BD的距离为

6

（9分）
（3）过A作AH⊥OQ于H
∵BD⊥QO，BD⊥PA
∴BD⊥平面AOQ∴BD⊥AH
又AH⊥OQ
∴AH⊥平面QBD
∴AH的长就是点A到平面QBD的距离（12分）
在△QAO中，OQ=

6

，AQ=2，AO=

2

∴AH=

AQ ? AO

OQ

=

2×

2

6

=

2

3

（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA⊥AB，PA⊥AD，点Q是PA的中..”的主要目的是检查您对于考点“高中点到直线、平面的距离”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中点到直线、平面的距离”。

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