△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：sin2A-cos2A=12，比较b+c与2a的大小．-数学试题及答案

1、试题题目：△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：sin2A-cos2A=1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-11 07:30:00

试题原文

△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：sin²A-cos²A=

1

2

，比较b+c与2a的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦定理

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（解法一）由题设得cos2A=-

1

2

，又0＜2A＜2π，所以2A=

2π

3

或

4π

3

，
所以A=

π

3

或A=

2π

3

…（4分）
（1）当A=

π

3

时，设B=

π

3

+α，C=

π

3

-α(-

π

3

＜α＜

π

3

)
则由正弦定理得

b+c

2a

=

sinB+sinC

2sinA

=

sin(

π

3

+α)+sin(

π

3

-α)

2sin

π

3

=

2sin

π

3

cosα

2sin

π

3

=cosα≤1，
所以b+c≤2a（A=B=C=

π

3

时取等号） …（8分）
（2）当A=

2π

3

设B=

π

6

+α，C=

π

6

-α(-

π

6

＜α＜

π

6

)
则由正弦定理得

b+c

2a

=

sinB+sinC

2sinA

=

sin(

π

6

+α)+sin(

π

6

-α)

2sin

2π

3

=

2sin

π

6

cosα

2sin

2π

3

=

1

3

cosα＜1，
所以b+c＜2a
综上，当△ABC为等边三角形时，b+c=2a；当△ABC为非等边三角形时，b+c＜2a…（12分）
（解法二）由题设得cos2A=-

1

2

，又0＜2A＜2π，所以2A=

2π

3

或

4π

3

所以A=

π

3

或A=

2π

3

…（4分）
（1）当A=

π

3

时，由余弦定理得a²=b²+c²-ac，
因为4a²-（b+c）²=4（b²+c²-bc）-（b²+c²+2bc）=3（b-c）²≥0
所以b+c≤2a（当a=b=c时取等号） …（8分）
（2）当A=

2π

3

由余弦定理得a²=b²+c²+ac
因为4a²-（b+c）²=4（b²+c²+bc）-（b²+c²+2bc）=3b²+3c²+2bc＞0
所以b+c＜2a
综上，当△ABC为等边三角形时，b+c=2a；当△ABC为非等边三角形时，b+c＜2a…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“△ABC中三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足：sin2A-cos2A=1..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦定理”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦定理”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：