从椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线恰好通过椭圆的左焦点F1，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM，又Q是椭圆上任一点．（1）求椭圆的离心率；（2）求∠F1QF2的范-数学试题及答案

1、试题题目：从椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线恰好通过椭圆的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

从椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线恰好通过椭圆的左焦点F₁，且它的长轴端点A及短轴端点B的连线AB平行于OM，又Q是椭圆上任一点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）求∠F₁QF₂的范围；
（3）当QF₂⊥AB时，延长QF₂与椭圆交于另一点P，若△F₁PQ的面积为20

3

，求椭圆方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵过点M向x轴作垂线经过左焦点，A（a，0），B（0，b），∴M(-c，

b2

a

)，
∵AB∥OM，所以k_AB=k_OM，即-

b

a

=-

b2

ac

，从而得到b=c，a=

2

c，
∴离心率e=

2

．
（2）设|PF₁|=m，|PF₂|=n
∴cos∠F1QF2=

m2+n2-4c2

2mn

=

4a2-4c2-2mm

2mn

=

2b2

mn

-1，
又因为mn≤(

m+n

2

)2=a2，所以0≤cos∠F₁QF₂≤1，所以∠F1QF2∈[0，

π

2

]．
（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵kAB=-

2

，所以kF2Q=

2

，所以直线F₂Q的方程：y=

2

（x-c）
直线与椭圆联立

y=

2

(x-c)

x2+2y2=2c2

，消元可得5x²-8cx+2c²=0
∴△=24c²＞0，x1+x2=

8c

5

，x1x2=

2

5

c2，
由弦长公式可得|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

3

64c2

25

-4×

2

5

c2

=

6

2

5

c，
又因为F₁到直线y=

2

(x-c)的距离d=

2

6

3

c，
因为S=

1

2

×

2

6

3

×

6

2

5

c2=

4

3

5

c2=20

3

，所以c²=25，b²=25，a²=50，
所以椭圆的方程为

x2

50

+

y2

25

=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“从椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上一点M向x轴作垂线恰好通过椭圆的..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：