已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，且圆C：x2+y2+3x-3y-6=0过A，F2两点．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线PF2的倾斜角为α，直线PF1的倾斜角为β，-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别为F₁、F₂，且圆C：x2+y2+

3

x-3y-6=0过A，F₂两点．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设直线PF₂的倾斜角为α，直线PF₁的倾斜角为β，当β-α=

2π

3

时，证明：点P在一定圆上．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）圆x2+y2+

3

x-3y-6=0与x轴交点坐标为A(-2

3

，0)，F2(

3

，0)，
故a=2

3

，c=

3

，所以b=3，∴椭圆方程是：

x2

12

+

y2

9

=1．
（2）证明：设点P（x，y），因为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），
设点P（x，y），则kPF1=tanβ=

y

x+

3

，kPF2=tanα=

y

x-

3

，
因为β-α=

2π

3

，所以tan（β-α）=-

3

．
因为tan（β-α）=

tanβ-tanα

1+tanαtanβ

=

-2

3

y

x2+y2-3

，
所以

-2

3

y

x2+y2-3

=-

3

，化简得x²+y²-2y=3．
所以点P在定圆x²+y²-2y=3上．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左顶点为A，左、右焦点分别..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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