已知点A（1，1）是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．（1）求椭圆的两焦点坐标；（2）设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两-数学试题及答案

1、试题题目：已知点A（1，1）是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上一点，F1，F..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知点A（1，1）是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一点，F₁，F₂是椭圆的两焦点，且满足|AF₁|+|AF₂|=4．
（1）求椭圆的两焦点坐标；
（2）设点B是椭圆上任意一点，如果|AB|最大时，求证A、B两点关于原点O不对称；
（3）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由椭圆定义知：2a=4，∴a=2，∴

x2

4

+

y2

b2

=1
把（1，1）代入得

1

4

+

1

b2

=1∴b2=

4

3

，则椭圆方程为

x2

4

+

y2

4

3

=1，
∴c2=a2-b2=4-

4

3

=

8

3

，∴c=

2

6

3

故两焦点坐标为(

2

6

3

，0)，(-

2

6

3

，0)（4分）

（II）用反证法：假设A、B两点关于原点O对称，则B点坐标为（-1，-1），
此时|AB|=2

2

取椭圆上一点M（-2，0），则|AM|=

10

.∴|AM|＞|AB|．
从而此时|AB|不是最大，这与|AB|最大矛盾，所以命题成立．（8分）

（III）设AC方程为：y=k（x-1）+1
联立

y=k(x-1)+1

x2

4

+

3

4

y2=1

消去y得（1+3k²）x²-6k（k-1）x+3k²-6k-1=0
∵点A（1，1）在椭圆上∴xC=

3k2-6k-1

3k2+1

（10分）
∵直线AC、AD倾斜角互补
∴AD的方程为y=-k（x-1）+1
同理xD=

3k2+6k-1

3k2+1

（11分）
又y_c=k（x_C-1）+1，y_D=-k（x_D-1）+1，y_C-y_D=k（x_C+x_D）-2k
所以kCD=

yC-yD

xC-xD

=

1

3

即直线CD的斜率为定值

1

3

（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知点A（1，1）是椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上一点，F1，F..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：