已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x2+5y2=80上，且点A在y轴的正半轴上．（Ⅰ）若△ABC的重心是椭圆的右焦点F2，试求直线BC的方程；（Ⅱ）若∠A=90°，试证直线BC恒过定点．-数学试题及答案

1、试题题目：已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x2+5y2=80上，且点A在y轴的正半轴上..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x²+5y²=80上，且点A在y轴的正半轴上．
（Ⅰ）若△ABC的重心是椭圆的右焦点F₂，试求直线BC的方程；
（Ⅱ）若∠A=90°，试证直线BC恒过定点．

试题来源：宁波模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
整理椭圆方程得

x2

20

+

y2

16

=1，∴短轴b=4，a=2

5

∴c=

20-16

=2，
则A（0，4 ），F₁（2，0）
∴

0+x1+x2

3

=2，x₁+x₂=6
同理y₁+y₂=-4
又

x12

20

+

y12

16

=1，

x22

20

+

y22

16

=1，
两式相减可得4（x₁+x₂）+5（y₁+y₂）×k=0，
∴k=

6

5

（k为BC斜率）
令BC直线为：y=

6

5

x+b，则y₁+y₂=

6

5

（x₁+x₂）+2b
∴b=-

28

5

∴BC直线方程为：y=

6

5

x-

28

5

即5y-6x+28=0．…（7分）
（Ⅱ）由AB⊥AC，得

AB

?

AC

=x₁x₂+y₁y₂-4（y₁+y₂）+16=0 （1）
设直线BC方程为y=kx+b代入4x²+5y²=80，得（4+5k²）x²+10bkx+5b²-80=0
∴x1+x2=

-10kb

4+5k2

，x1x2=

5b2-80

4+5k2

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2b=

8k

4+5k2

，y₁y₂=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=

4b2-80k2

4+5k2

代入（1）式得，

9b2-32b-16

4+5k2

=0，
解得b=4（舍）或b=-

4

9

故直线BC过定点（0，-

4

9

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知△ABC的三个顶点均在椭圆4x2+5y2=80上，且点A在y轴的正半轴上..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：