已知椭圆C焦点在x轴上，其长轴长为4，离心率为32，（1）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围；（2）如-数学试题及答案

1、试题题目：已知椭圆C焦点在x轴上，其长轴长为4，离心率为32，（1）设过定点M（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

已知椭圆C焦点在x轴上，其长轴长为4，离心率为

3

2

，
（1）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围；
（2）如图，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）相交于P，S，R，Q四点，设原点O到四边形PQSR一边的距离为d，试求d=1时a，b满足的条件．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵椭圆C焦点在x轴上，其长轴长为4，离心率为

3

2

，
∴

2a=4

c

a

=

3

2

．解得a=2，b=1，∴

x2

4

+y2=1
显然直线x=0不满足题设条件，可设直线l：y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．（5分）
由

x2

4

+y2=1

y=kx+2

得（1+4k²）x²+16kx+12=0．∵△=（16k）²-4×12（1+4k²）＞0，
∴k∈(-∞，-

3

2

)∪(

3

2

，+∞)
又x1+x2=

-16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

由0°＜∠AOB＜90°?

OA

?

OB

＞0．∴

OA

?

OB

=x1x2+y1y2＞0．
所以

OA

?

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=

12(1+k2)

1+4k2

+2k

-16k

1+4k2

+4＞0∴-2＜k＜2．
由此得：k∈(-2，-

3

2

)∪(

3

2

，2)．
（2）由椭圆的对称性可知PQSR是菱形，原点O到各边的距离相等．
当P在y轴上，Q在x轴上时，直线PQ的方程为

x

a

+

y

b

=1，由d=1得

1

a2

+

1

b2

=1，
当P不在y轴上时，设直线PS的斜率为k，P（x₁，kx₁），则直线RQ的斜率为-

1

k

，Q(x2，-

1

k

x2)
由

y=kx

x2

a2

+

y2

b2

=1

，得

1

x12

=

1

a2

+

k2

b2

（1），同理

1

x22

=

1

a2

+

1

k2b2

在Rt△OPQ中，由

1

2

d?|PQ|=

1

2

|OP|?|OQ|，即|PQ|²=|OP|²?|OQ|²
所以(x1-x2)2+(kx1+

x2

k

)2=[x12+(kx1)2]?[x22+(

x2

k

)2]，化简得

k2

x22

+

1

x12

=1+k2，
分k2(

1

a2

+

1

k2b2

)+

1

a2

+

k2

b2

=1+k2，
即

1

a2

+

1

b2

=1．
综上，d=1时a，b满足条件

1

a2

+

1

b2

=1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知椭圆C焦点在x轴上，其长轴长为4，离心率为32，（1）设过定点M（..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：